引 言 在力学分析中,存在标量和向量两种物理量. 以牛顿力学为代表的向量力学就是以状态变量(位移、速度、力等)作为描述系统运动的关键量; 而以力学变分原理为代表的拉格朗日(Lagrange)及哈密顿(Hamilton)表述,则从能量角度对物理运动规律进行了更深刻剖析. 对无能量交换(耗散)的保守系统,能量都是存在守恒率的,因此能量刻画往往更能揭示物理运动的内在联系与不变性,在多物理场耦合的情况下尤其如此. 例如,声振耦合、流固耦合问题,此时耦合场边界的相互作用力往往难于测量或计算,而功率、能量往往可通过先验性的假设获取,对于此类问题,基于能量的动力学描述法具有明显的优势. 事实上,自1962年Lyon[1]提出的双线性耦合振子能量流模型以来,不少学者已经逐渐意识到,对于大型复杂系统,即便是采用有限元为代表的精确建模法,也很难模拟真实结构振动噪声问题,其本质原因是有限单元模型与真实模型总存在建模误差,这些误差在高频区将对计算结果产生不小的影响[2].如果放弃对复杂系统运动场及其边界的精确描述,从能量等效角度,用简单的运动模式去代替复杂系统的运动规律,既能保证工程分析精度要求,同时也大大简化了建模难度. 基于能量的基本建模方法有:统计能量法[3, 4]、热传导模拟法[5, 6, 7],其中前者是集总参数模型,后者为分布参数.由此发展出来的各种混合建模法[8, 9, 10],都旨在尽可能不提高模型复杂度的前提下,拓宽模型频带适用范围.需要指出的是,能量流(功率流)的计算与能量法建模是两个不同概念,前者完全可经由其他方法,诸如有限元[11]、导纳法[12]、波法[13, 14]来获得. 除了能量角度外,也有从行波导能机制出发,研究复杂结构的中高频动力学行为的,Mead[15, 16]最早将周期结构波动理论,应用于求湍流脉动压力激励下的结构响应问题,其后vonFlotow[17, 18]将该理论和方法应用于大型空间结构的振动、噪声控制问题,并提出结构动态分析声限观点[19],即结构动态响应分析方法需要按频率高低来选取: 低频区适合用模态分析,中频区适用于波传播分析方法,而高频区则适用于统计能量法.程伟[20]、朱桂东[21]、田艳[22]等学者分别对结构行波的传播机制和各种应用做了大量研究.从现有文献来看,针对高频区的结构行波理论及其建模计算方法已有较为充分的研究,但在低频区,考虑近场衰减振动耦合作用下的能量、功率分布特性研究还未见到. 事实上,对于其他诸多框架结构动力学问题,例如地震、冲击[23],近场振动解不能忽略,有必要对此问题做进一步研究,以便将能量建模法应用到低频问题的分析中. 本文从无阻尼欧拉-伯努利 (Euler--Bernoulli) 梁解析解出发,推导了基于谱系数的能量、功率达式,并以此为基础,着重讨论两种运动场------行波场和衰减振动场关于功率、能量泛函的叠加性(正交性)问题,指出低频区能量传导方式除了"波导"(wave-guide)外,还存在另外一种重要导能模式------"振导" (vibro-guide)模式,其导能方式与弹性波存在本质差别. 最后,通过中点加载右端集中阻尼器支撑的梁的数值仿真,分析了"振导"模式随频率变化趋势以及导能效率. 本文工作的创新点有: (1) 从能量、功率泛函的可叠加性出发,扩展了振型正交性概念,使得非共振频率下的其他典型运动模式,如行波、近场衰减振动同样具有某种正交性,加深了对变形运动模式间能量、功率耦合关系的认识; (2) 将度量矩阵的概念引入到能量、功率计算中,在数学形式上统一了离散质点和连续体的能量、功率计算表达式; (3) 并借此分析了弯曲行波、近场衰减振动的正交性问题. 尽管对梁杆结构的能量、功率计算公式已有报道[13, 24],但是均未能从叠加性或者说正交性角度做,进一步深入的探讨,换句话说,本文是从更高的角度揭示了已有公式的物理和数学本质; (4) 根据近场衰减振动关于功率泛函不正交的特点,首次提出"振导"模式概念,从理论和数值仿真上进一步证实其与传统波传导模式存在本质差别,同时还严格证明了高频段忽略近场衰减振动的合理性; (5) 首次引入无量纲参数: 能量传送比$\eta $,用以衡量能量传导的难易程度,并将其用于能量流数值仿真分析中. 1 基本理论 本章首先从运动的合成与分解出发,讨论了正 交标架和能量泛函之间的内在联系,并将此概念拓展到一般周期函数的研究中,即傅里叶(Fourier)级数.通过对周期信号的能量和功率的计算,揭示出傅里叶函数空间关于能量、功率泛函具有叠加性这一重要属性,为下一章有关欧拉-伯努利梁的运动模式分解及其能量、功率计算做铺垫. 1.1 向量正交分解与能量叠加原理 在力学分析中,给定一个速度向量$ v$原则上可以做任意分解: 正交或斜交,如图1所示. 此时$ v$具有如下叠加形式 图 1 平面速度向量的分解 Fig.1 Plane velocity vector decomposition $ v =v_x\oplus v_y= v_x g_1 + v_y g_2 $ (1) 使用直和记号$ \oplus $是为了避免在叠加公式中反复出现基底向量$ g_{1,2} $,详见附录A的说明. 如果选定一种标架,那么合成运动的总比动能$e_{k}$(单位质量的动能)显然有 $ e_{\rm k} = \dfrac{1}{2} v \cdot v = v^{\rm T} G v,\ \ G_{i,j} = \dfrac{1}{2} g_i \cdot g_j $ (2) 式中对称正定方阵$ G$称为度量矩阵,与能量泛函$e_{\rm k} $的定义以及标架选取有关. 从纯粹计算角度看,正交标架与斜交标架并无本质区别,但是,注意到正交分解对应的度量阵$ G = 0.5 I$,具有对角化特性,由式(2)可得能量叠加原理 $ eq3{{e}_{\text{k}}}({{v}_{x}}\oplus {{v}_{y}})={{e}_{\text{k}}}({{v}_{x}})+{{e}_{\text{k}}}({{v}_{y}})=\frac{1}{2}v_{x}^{2}+\frac{1}{2}v_{y}^{2} $ (3) 上式的重要物理意义在于,在正交标架下,运动的分解关于能量泛函满足叠加原理,亦即总比动能等于各分运动的比动能之和,此时的向量分解或叠加称为"正交的". 对于如图1(b)所示的斜交分解显然是不满足的,这说明两个分运动之间并不完全独立,或者说存在一定干涉、耦合、相干,其代数特征是度量矩阵$ G$非对角. 从上面的讨论可以看出,"正交性"完全可以脱离几何上的"垂直"概念而独立存在,它是伴随能量泛函$e_{\rm k}$而产生的,实质是给运动分解增加一个"独立性"要求,因此,采用具有某种正交性的"坐标系"无疑给问题的分析与描述带来巨大便利. 1.2 傅里叶级数的能量叠加原理 进一步的,上述将二维运动分解为两个一维运动的"线性叠加"思想,推广到周期函数中便是熟知的傅里叶级数展开法. 众所周知傅里叶级数存在正交性,那么该正交性是否和能量叠加原理有关则是本节所要阐明的. 假设速率$v(t)$为周期信号,其傅里叶级数展开式为 $ eq4v(t) \doteq \sum\limits_{n = 0}^\infty \hat{v}_n \mbox{e}^{{\rm j}\omega _n t} \doteq \oplus_n \hat{v}_n,\ \ \omega _n = n\omega _1 $ (4) 式中引入了单边记号"$\doteq$"是为了强调书写时省略了记号右端的共轭部分,相关说明详见附录B. 与速度向量分解类似,傅里叶展开式的意义在于将任意周期信号看成函数空间$\varPhi= \{\phi _n = \mbox{e}^{{\rm j}\omega _n t}|n =0,1,2,... \}$的一个坐标点,坐标值就是复向量$\hat{ v} = [\hat{v}_0,\hat{v}_1 ,...]^{\rm T}$,如图2所示. 图2仅画了两个标架,而全部标架是有无限个的. 图中有意将函数标架(或称基底)画成垂直,那么自然要问周期函数空间中标架$\{\phi_n\}$之间的正交性是如何定义的. 事实上,根据上一节,必须先引入能量泛函,不妨仍选比动能的时间平均值$\bar{e}_{\rm k} $,有 图 2 复谐量物理意义 Fig.2 Physical meaning of harmonics $ eq4\left.\begin{array}{l} \bar{e}_{\rm k} (v) = \dfrac{1}{2}\left\langle {v,v} \right\rangle _{\rm T} = \sum\limits_{n > 0} {\bar{e}_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right)} \\ \bar{e}_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right) = \left| {\hat{v}_n } \right|^2 \\\end{array}\right\} $ (5) 上式说明,速率信号的总比动能时间平均值,等于各周期信号的能量和,满足关于时间平均比能的叠加原理,因此傅里叶分解可以看成是关于时间平均比能的正交分解,不同频率间的能量互不干涉. 所以图2中将函数基底画成垂直是合理的. 需要补充说明的是,如果取动能峰值作为能量泛函,则叠加原理不再成立,即 $ \left.\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \ne \displaystyle\sum\limits_{n > 0} {\mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right)} \\ \mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right) = 2\left| {\hat{v}_n } \right|^2\end{array}\right\} $ (6) 上式说明,采用傅里叶展开,对于只关心信号极大值的情况,例如冲击问题,并不十分有效. 1.3 功率内积与双线性泛函 功率是衡量能量交换快慢的一个物理量. 对于离散质点,$P(t) = Fv\cos \theta $,因此功率本质上就是两个实信号的乘积信号. 设力信号$F(t)$、速度信号$v(t)$具有如式(4)所示的傅里叶展开形式,并且相互平行,则时间平均功率$\bar{P}$ $ \bar{P} = \langle v,F\rangle _{\rm T} \doteq \sum _n \hat{v}_n^\ast \hat{F}_n $ (7) 上式说明,不同频率之间力和速度信号关于时间平均功率是正交的,换句话说,傅里叶分解关于功率泛函满足叠加原理,即 $ eq8\bar{P}\left( { \oplus _n \hat{v}_n ,\oplus _m \hat{F}_m } \right) = \sum _n \bar{P}\left( {\hat{v}_n ,\hat{F}_n } \right) = \sum _n \bar{P}_n , $ (8) 其中,$m,n > 0$,$\bar{P}_n \doteq \hat{v}_n^\ast \hat{F}_n \doteq \langle {\hat{v}_n ,\hat{F}_n }\rangle _{\rm C}$. 式中记号$\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\rm C} $表示复数域${\rm C}$上的复内积,几何上对应复平面向量点积. 采用内积符号是为了突出功率泛函关于$v$和$F$均是线性的,即双线性泛函. 由上述定义,时间平均比能可以也看成是特殊的"时间平均功率". 综合本章有关比能、功率计算结果可以看出,信号的傅里叶分解关于时间平均能量、功率泛函具有正交性,这使得我们在计算稳态振动功率,能量流的过程中,可以将输入信号做傅里叶展开,而逐一求解每一个频率分量下的功率,最后再利用叠加原理计算总功率及能量. 2 欧拉-伯努利梁的谱分解及其正交性 上一章有关傅里叶展开的正交性讨论表明,对于任意复杂周期信号,都可从能量角度分解成若干简单信号的叠加,称之为谱分解. 上述思想完全可以推广到一般运动场的研究中,例如欧拉-伯努利梁的任意稳态横向弯曲振速场$\dot{v}\left( {x,t} \right)$,是否存在一组关于能量正交的基底$\left\{ {\phi _n \left( {x,t} \right),n= 1,2,... } \right\}$,使得运动场的任意解$\dot{v}\left( {x,t} \right)$都具有如下线性展开式 $ eq9\dot{v}\left( {x,t} \right) = \sum _n \hat{\dot{v}}_n \phi _n \left( {x,t} \right) = \oplus _n \hat{\dot{v}}_n $ (9) 式中，$\hat{\dot{v}}_n $称为谱系数,而基底$\phi _n \left( {x,t} \right)$表示已知的运动模式,因此上式也可称为运动模式分解,是质点运动合成与分解在连续介质运动场中的推广. 本章将对$\left\{ {\phi _n }\right\}$的正交性及能量、功率分布规律做深入探讨. \vskip 2mm 2.1 谱分解的引入 众所周知,无阻尼欧拉-伯努利梁的齐次方程通解是已知的,即任意周期运动场都有如下形式 $ \begin{align} & \dot{v}(x,t)\doteq \sum\limits_{n}{(}{{{\hat{\dot{v}}}}_{1,n}}{{\text{e}}^{-\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{2,n}}{{\text{e}}^{-{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{3,n}}{{\text{e}}^{\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,n}}{{\text{e}}^{{{k}_{\text{B}}}x}}){{\text{e}}^{\text{j}{{\omega }_{n}}t}}\doteq \sum\limits_{n}{\left[ {{\phi }_{1,n}},{{\phi }_{2,n}},{{\phi }_{3,n}},{{\phi }_{4,n}} \right]}{{{\hat{\dot{v}}}}_{n}} \\ \end{align} $ (10) 其中,$k_{\rm B}$表示弯曲波数,$k_{\rm B} = \sqrt {\omega / a}$,$a = c_{\rm L} i_z$,$i_z$为横截面积的惯性半径[25]. $\dot{v}$表示横向振速,考虑到一般习惯以$u,v,w$分别表示$x,y,z$三个方向的位移,所以此处用$\dot{v}$强调以横向振速作为基本场变量. 谱系数$\hat{\dot{v}}_{j,n} $下标$j,n$分别用于区分空间分布模式和离散频率点. 上式说明,梁的弯曲运动场本质上可由4种基本空间运动模式组成: $\{{{\phi }_{i}}(x,t)={{\text{e}}^{{{s}_{i}}x}}{{\text{e}}^{\text{j}\omega \text{t}}},\ {{s}_{i}}={{k}_{\text{B}}}{{\text{e}}^{-\text{j}\pi i/2}},\ i=1,2,3,4\}$,其中$i = 1,3$为右、左行波模式; $i = 2,4$为右、左衰减振动模式. 任意稳态周期运动,都与${\rm C}^{4\times N}$维复线性空间,即谱空间中的一个点$\hat{\dot{ v}}$对应,如下所示 $ \begin{align} & \dot{v}\to \hat{\dot{v}}\in {{\text{C}}^{4\times N}}=\left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,1}} \\ \end{matrix} \right]\oplus \left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,2}} \\ \end{matrix} \right]\oplus ...\oplus \left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,n}} \\ \end{matrix} \right]= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ {{\oplus }_{j,n}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{j,n}},\ \ N\text{充分大} \\ \end{align} $ (11) 上式表明$4N$维谱空间可以看成$N$个4维子空间的直和,每一个子空间对应一个稳态单频周期运动场. 注意到,$\{\phi _i \left( {x,t} \right)\vert _{j = 1,3}\}$,$\left\{ {\phi _i \left( {x,t} \right)\vert _{j = 2,4} } \right\}$分别为行波场和衰减振动场,对应的谱系数不妨分别记做 $ eq12\hat{\dot{ v}}_{\rm w} = \left[{\hat{\dot{v}}_{1,n} ,\hat{\dot{v}}_{3,n} } \right]^{\rm T},\ \\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = \left[{\hat{\dot{v}}_{2,n} ,\hat{\dot{v}}_{4,n} } \right] $ (12) 类似周期信号的正交性,不同频率的运动模式$\hat{\dot{v}}_{j,m} $和$\hat{\dot{v}}_{k,n} $之间,在能量$\bar{e}$ (动能/势能/机械能)、截面应力功率$\bar{P}$泛函意义下,关于频率,即下标$n$,满足叠加原理 $ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right)=\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}} \right)+\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right) \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{f}}}_{k,n}} \right)= \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}},{{{\hat{f}}}_{k,m}} \right)+\bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{k,n}} \right) \\ & j,k=1,2,3,4,\ \ m,n\ge 1 \\ \end{align} \\ \end{array} \right\} $ (13) 式中$\hat{f}$表示截面广义弹性内力对应的谱系数. 上式表明不同频率的运动场,关于时间平均比能/功率是无耦合、不相干的. 进一步的,自然要问对于同一频率下的各子运动场$\hat{\dot{v}}_{j,n}$,$j =1,2,3,4$,关于空间分布模式指标是否也具有叠加性 $ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right)=\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}} \right)+\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right) \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{f}}}_{k,n}} \right)= \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}},{{{\hat{f}}}_{k,m}} \right)+\bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{k,n}} \right) \\ & j,k=1,2,3,4,\ \ m,n\ge 1 \\ \end{align} \\ \end{array} \right\} $ (14) 这是本章所要讨论的核心议题. 下面将从有限长和无限长两种情况,对单一频率下的衰减振动场和行波场的正交性进行深入讨论,过程中将略去谱系数$\hat{\dot{v}}_{j,n} $的频率指标. 2.2 无限长行波场的正交性 本节给出纯行波场的场能、场功率推导过程. 由于推导过程类似,所以后面有关有限长的情况将直接给出具体结果. 2.2.1 比能 如果考虑两端无限长,因衰减振动模式$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} $在无穷远点处发散,所以假设$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = 0$是合理. 对横向振速$\dot{v}$,截面转角速度$\dot{\theta }$,截面弯矩$M$,截面剪力$Q$按右、左行波模式展开,得 $ \dot{v}\doteq \left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}{{\text{e}}^{-\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{\text{e}}^{\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}} \right){{\text{e}}^{\text{j}\omega t}}\triangleq {{\Phi }_{\text{w}}}{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}} $ (15a) $ \dot{\theta }={{\partial }_{x}}\dot{v}\doteq \text{ }{{\Phi }_{\text{w}}}\left[\begin{matrix} -\text{j}{{k}_{\text{B}}} & {} \\ {} & \text{j}{{k}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right]{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}}\triangleq \text{ }{{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\theta }}{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}} $ (15b) $ \begin{align} & M=EI\partial _{t}^{-1}\partial _{x}^{2}\dot{v}\doteq {{\Phi }_{\text{w}}}\left[ \begin{matrix} \text{j}{{R}_{\text{M}}} & {} \\ {} & \text{j}{{R}_{\text{M}}} \\ \end{matrix} \right]{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\triangleq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\ \ {{R}_{\text{M}}}=\rho Aa \\ \end{align} $ (15c) $ \begin{align} & Q=-\partial _{t}^{-1}\partial _{x}^{3}\dot{v}\doteq {{\Phi }_{\text{w}}}\left[ \begin{matrix} -{{R}_{\text{Q}}} & {} \\ {} & {{R}_{\text{Q}}} \\ \end{matrix} \right]{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\triangleq \\ & \ \ \ \ \ \ \ {{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\text{Q}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\ \ {{R}_{\text{Q}}}=\rho A{{c}_{\text{B}}},\ \ {{c}_{\text{B}}}=\sqrt{\omega a} \\ \end{align} $ (15d) 式中$c_{\rm B} $表示弯曲波相速. $R_{\rm M,Q}$分别表示弯矩,剪力阻抗,并由其构成阻抗矩阵$ Z_{\rm M,Q}$,通过阻抗矩阵可以在复平面${\rm C}$上画出广义力、速度之间的相位关系如图3所示. 图 3 弯曲行波场广义速度、力相位图 Fig.3 Bending wave phase diagram of a generalized velocity {\&} force 行波场的时间平均比动能$\bar{e}_{\rm k,w}$ $ \left. \begin{align} & {{{\bar{e}}}_{\text{k},\text{w}}}=\frac{1}{2}{{\left\langle v,v \right\rangle }_{\text{T}}}\doteq \sum\limits_{i,j=1,3}{\frac{1}{2}}\hat{\dot{v}}_{i}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{j}}{{\left\langle \phi _{i}^{*},{{\phi }_{j}} \right\rangle }_{\text{T}}}= \\ & {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{k},\text{w}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}},\\ & {{G}_{\text{k},\text{w}}}=\Phi _{\text{w}}^{*}{{\Phi }_{\text{w}}}=\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ {{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & \text{1} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right\} $ (16) 上式说明同一频率下的右、左行波模式间存在干涉,即关于时间平均能量泛函,右、左行波基不是正交基,此时度量矩阵$ G_{\rm k,w} $非对角. 如果在一个波长$\lambda $上对$\bar{e}_{\rm k,w} $ 再取一次空间平均,得到时间-空间平均比动能$\bar{\bar{e}}_{\rm k,w} $如下 $ \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} = \langle \bar{e}_{\rm k,w} \rangle _\lambda = \left|{\hat{\dot{v}}_1 } \right|^2 + \left| {\hat{\dot{v}}_3 } \right|^2 = \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} \left({\hat{\dot{v}}_1 } \right) + \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} \left( {\hat{\dot{v}}_2 } \right) $ (17) 对于时间-空间平均而言,右、左行波模式间的干涉现象消失了,$\bar{\bar{e}}_{\rm k,w}$满足能量叠加原理,其物理意义是能量守恒. 波模系数$\hat{\dot{v}}_{1,3} $的平方模表征了场的平均动能.该实例再一次表明,运动模式正交与否,取决于泛函的选取. 类似比动能,同样可以定义单位质量的势能,即比势能$\bar{e}_{{\rm p,w}} $和$\bar{\bar{e}}_{{\rm p,w}} $如下 $ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{e}}}_{\text{p},\text{w}}}=\frac{1}{2}\frac{1}{R_{\text{M}}^{2}}{{\left\langle M,M \right\rangle }_{\text{T}}}= \\ \qquad {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\frac{1}{R_{\text{M}}^{2}}Z_{\text{M}}^{*}{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}= \\ \qquad {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{p},\text{w}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} \\ {{G}_{\text{p},\text{w}}}=\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ {{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & 1 \\ \end{matrix} \right] \\ {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{p},\text{w}}}={{\left\langle {{{\bar{e}}}_{\text{p},\text{w}}} \right\rangle }_{\lambda }}={{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{3}} \right|}^{2}} \\ \end{array} \right\} $ (18) 上式说明,对于弯曲行波场,比能$\bar{e}_{\rm k,w} $和$\bar{e}_{{\rm p,w}} $空间分布规律完全相同,亦即动能极大点同时也是势能极大点,这与一维纵波(或者声波、扭转波)完全不同,反映了弯曲行波场的特性. 显然单位质量的总能,即比机械能$\bar{e}_{{\rm m,w}} $和$\bar{\bar{e}}_{{\rm m,w}} $有 $ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{e}}}_{\text{m},\text{w}}}={{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\left( {{G}_{\text{k},\text{w}}}+{{G}_{\text{p},\text{w}}} \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}=2{{{\bar{e}}}_{\text{k},\text{w}}},\\ {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{m},\text{w}}}=2{{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{k},\text{w}}} \\ \end{array} \right\} $ (19) 2.2.2 截面应力功率 与一维声场不同,弯曲行波场的广义位移有两个: $\dot{v}$和$\dot{\theta }$,因此需要分别计算剪力功率$\bar{P}_{\rm Q} $和弯矩功率$\bar{P}_{\rm M}$,推导过程与比能过程类似. $ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{Q},\text{w}}}={{\langle \dot{v},Q\rangle }_{\text{T}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{Q}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}\doteq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{Q},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} \\ \end{align} $ (20) 其中$ A_{{\rm Q,w}} $称为与功率泛函$\bar{P}_{{\rm Q,w}} $对应的内积矩阵. $\bar{P}_{\rm Q} $的具体表达式为 $ eq{{A}_{\text{Q},\text{w}}}={{R}_{\text{Q}}}\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ -{{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & 1 \\ \end{matrix} \right]\equiv \rho A{{c}_{\text{B}}}\left[\begin{matrix} -1 & {} \\ {} & 1 \\ \end{matrix} \right] $ (21) 符号"$ \equiv $"表示消去反共轭对称部分,因其对功率贡献为零. 事实上,若$ A^\ast= - A$,则复二次型 $ \bar{P}\doteq {{z}^{*}}Az={{z}^{*}}Az+{{\left( {{z}^{*}}Az \right)}^{*}}=0 $ (22) 同理, $ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{M},\text{w}}}={{\langle \dot{\theta },M\rangle }_{\text{T}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},Z_{\theta }^{*}{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}\doteq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{M},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}},{{A}_{\text{M},\text{w}}}={{A}_{\text{Q},\text{w}}} \\ \end{align} $ (23) 剪力、弯矩功率计算结果表明,时间平均场功率的空间分布是均匀的,并且右、左行波模式关于功率泛函$\bar{P}_{\rm w} $满足叠加原理 $ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{tot},\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{3}})={{{\bar{P}}}_{\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{1}})+{{{\bar{P}}}_{\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{3}})\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{tot},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4\rho A{{c}_{\text{B}}}(-|{{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}{{|}^{2}}+|{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{|}^{2}}) \\ \end{align} $ (24) 式中 $ {{A}_{\text{tot},\text{w}}}={{A}_{\text{Q},\text{w}}}+{{A}_{\text{M},\text{w}}}=2\rho A{{c}_{\text{B}}}\left[ \begin{matrix} -1 & {} \\ {} & 1 \\ \end{matrix} \right] $ (25) 本文规定,能量流出截面为负. 2.3 有限长混合场的正交性 与无限长情况不同,有限长运动场必须考虑右、左衰减振动模式$ \varPhi_{\rm v} = \left[{\phi _1 ,\phi _4 } \right]$,它在能量、功率特性上与行波场有着重要不同. 本节首先研究纯衰减振动场的能量传导情况,随后再给出一般混合场的场能、场功率以及运动模式间的正交性关系. 2.3.1 纯衰减振动的场功率 设梁的长度为$L$,此时场变量$\dot{v}$可展开为 $ \begin{align} & \dot{v}\doteq \left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{\text{e}}^{-{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}{{\text{e}}^{{{k}_{\text{B}}}x}} \right){{\text{e}}^{\text{j}\omega t}} \\ & \ \ \triangleq {{\Phi }_{\text{v}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},x\in \left[0,L \right] \\ & \ \ \triangleq {{\Phi }_{\text{v}}}\left( \xi \right)\hat{\dot{v}}_{\text{v}}^{\text{M}},\xi \in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2} \right] \\ \end{align} $ (26) 振模系数$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} $表示坐标原点取在左端点,而$\hat{\dot{ v}}_{\rm v}^{\rm M} $则表示原点取在杆长中点处,两个波系数差一个坐标变换,即$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = \varPhi_{\rm v} \left( { - L / 2} \right)\hat{\dot{ v}}_{\rm v}^{\rm M} $. 与式(15b)$\sim $(15d)类似,不难写出纯衰减振动场情况下的阻抗阵$ Z_{\theta ,{\rm M,Q}}$,此处从略. 衰减振动场广义力、振速相位图4所示. 图 4 衰减振动场广义速度、力相位图 Fig.4 Evanescent vibration phase diagram of a generalized velocity {\&}force 从相位图上可以看成出,右衰减振动场的广义力垂直于自身的广义位移,说明单一右(左)衰减振动场的截面应力时间平均功率为零,即无法传导能量,但是如果两个场同时存在,那么右衰减振动场的广义力可以在左衰减振动场的广义位移上做功,即发生干涉.衰减振动场的剪力、弯矩功率内积矩阵$ A_{{\rm Q,v}} $和$ A_{{\rm M,v}} $ 分别为 $ \left. \begin{array}{l} l{A_{{\rm{Q}},{\rm{v}}}} = \Phi _{\rm{v}}^ * {\Phi _{\rm{v}}}{Z_{\rm{Q}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rm{j}}{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}}&{\rm{j}}\\ { - {\rm{j}}}&{{\rm{j}}{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right]\\ {A_{{\rm{M}},{\rm{v}}}} = Z_\theta ^ * \Phi _{\rm{v}}^ * {\Phi _{\rm{v}}}{Z_{\rm{M}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{j}}{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}}&{\rm{j}}\\ { - {\rm{j}}}&{ - {\rm{j}}{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right]\\ {A_{{\rm{tot}},{\rm{v}}}} = {A_{{\rm{Q}},{\rm{v}}}} + {A_{{\rm{M}},{\rm{v}}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{2{\rm{j}}}\\ { - {\rm{2j}}}&0 \end{array}} \right] \end{array} \right\} $ (27) 式中${\rm j}=\sqrt{-1}$. 总时间平均功率$\bar{P}_{{\rm tot},{\rm v}} $ $ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{tot},\text{v}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},{{A}_{\text{tot},\text{v}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}=8\rho A{{c}_{\text{B}}}Re[\text{j}\hat{\dot{v}}_{2}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}]= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\rho A{{c}_{\text{B}}}|{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}